Na matemática, na área da teoria dos números, um período de Gauss (ou período gaussiano) é um certo tipo de soma de raízes da unidade. Os períodos permitem cálculos explícitos em corpos ciclotômicos conectados com a teoria de Galois e com a análise harmônica. Ver Transformada discreta de Fourier. Eles são fundamentais na teoria clássica chamada ciclotomia. Intimamente relacionada a isso está a Soma de Gauss, um tipo de soma exponencial que é uma combinação linear de períodos.
História Como o nome sugere, os períodos foram introduzidos por Gauss e serviram de base para a sua teoria de construção com régua e compasso. Por exemplo, a construção do heptadecágono (uma fórmula que impulsionou a sua reputação) dependia da álgebra de tais períodos, dos quais
2 cos
(
2 π
17
)
= ζ +
ζ
16
{\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=\zeta +\zeta ^{16}}
é um exemplo envolvendo a décima sétima raiz da unidade
ζ = exp
(
2 π i
17
)
.
{\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{17}}\right).}
Definição geral Dado um número inteiro
n > 1
{\displaystyle n>1}
, seja
H
{\displaystyle H}
um subgrupo qualquer do grupo multiplicativo
G = (
Z
/
n
Z
)
×
{\displaystyle G=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
de resíduos inversíveis módulo
n
{\displaystyle n}
, e seja
ζ = exp
(
2 π i
n
)
.
{\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right).}
Um período de Gauss
P
{\displaystyle P}
é uma soma das raízes n-ésimas primitivas da unidade
ζ
a
{\displaystyle \zeta ^{a}}
, onde
a
{\displaystyle a}
percorre todos os elementos em uma classe lateral (coset) fixa de
H
{\displaystyle H}
em
G
{\displaystyle G}
. A definição de
P
{\displaystyle P}
também pode ser enunciada em termos do traço do corpo. Temos
P =
Tr
Q
( ζ )
/
L
(
ζ
j
)
{\displaystyle P=\operatorname {Tr} _{\mathbb {Q} (\zeta )/L}(\zeta ^{j})}
para algum subcorpo
L
{\displaystyle L}
de
Q
( ζ )
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )}
e algum
j
{\displaystyle j}
coprimo com
n
{\displaystyle n}
. Isto corresponde à definição anterior identificando
G
{\displaystyle G}
e
H
{\displaystyle H}
com os grupos de Galois de
Q
( ζ )
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )/\mathbb {Q} }
e
Q
( ζ )
/
L
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )/L}
, respectivamente. A escolha de
j
{\displaystyle j}
determina a escolha da classe lateral de
H
{\displaystyle H}
em
G
{\displaystyle G}
na definição anterior.
Exemplo A situação é mais simples quando
n
{\displaystyle n}
é um número primo
p > 2
{\displaystyle p>2}
. Nesse caso,
G
{\displaystyle G}
é cíclico de ordem
p − 1
{\displaystyle p-1}
, e tem um subgrupo
H
{\displaystyle H}
de ordem
d
{\displaystyle d}
para cada fator
d
{\displaystyle d}
de
p − 1
{\displaystyle p-1}
. Por exemplo, podemos tomar
H
{\displaystyle H}
de índice dois. Neste caso,
H
{\displaystyle H}
consiste nos resíduos quadráticos módulo
p
{\displaystyle p}
. Correspondendo a este
H
{\displaystyle H}
temos o período de Gauss
P = ζ +
ζ
4
+
ζ
9
+ ⋯
{\displaystyle P=\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\cdots }
somado sobre os
( p − 1 )
/
2
{\displaystyle (p-1)/2}
resíduos quadráticos, e o outro período
P
∗
{\displaystyle P^{*}}
somado sobre os
( p − 1 )
/
2
{\displaystyle (p-1)/2}
não-resíduos quadráticos. É fácil ver que
P +
P
∗
= − 1
{\displaystyle P+P^{*}=-1}
uma vez que o lado esquerdo soma todas as raízes
p
{\displaystyle p}
-ésimas primitivas de 1. Também sabemos, através da definição do traço, que
P
{\displaystyle P}
reside numa extensão quadrática de
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
. Portanto, como Gauss sabia,
P
{\displaystyle P}
satisfaz uma equação quadrática com coeficientes inteiros. Avaliar o quadrado da soma
P
{\displaystyle P}
está conectado com o problema de contar quantos resíduos quadráticos entre
1
{\displaystyle 1}
e
p − 1
{\displaystyle p-1}
são sucedidos por resíduos quadráticos. A solução é elementar (como diríamos hoje, calcula uma função zeta local, para uma curva que é uma cônica). Tem-se
( P −
P
∗
)
2
= p
ou
− p
{\displaystyle (P-P^{*})^{2}=p{\text{ ou }}-p}
, para
p = 4 m + 1
{\displaystyle p=4m+1}
ou
4 m + 3
{\displaystyle 4m+3}
respectivamente. Isto, portanto, fornece-nos a informação precisa sobre qual corpo quadrático reside em
Q
( ζ )
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )}
. (Isso também poderia ser derivado por argumentos de ramificação na teoria algébrica dos números; ver corpo quadrático.) Como Gauss acabou demonstrando, para avaliar
P −
P
∗
{\displaystyle P-P^{*}}
, a raiz quadrada correta a ser tomada é a positiva (respectivamente,
i
{\displaystyle i}
vezes o real positivo) nos dois casos. Assim, o valor explícito do período
P
{\displaystyle P}
é dado por
P =
{
− 1 +
p
2
,
se
p = 4 m + 1 ,
− 1 + i
p
2
,
se
p = 4 m + 3.
{\displaystyle P={\begin{cases}{\frac {-1+{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{se }}p=4m+1,\\[6pt]{\frac {-1+i{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{se }}p=4m+3.\end{cases}}}
Somas de Gauss Como é discutido com mais detalhe abaixo, os períodos de Gauss estão intimamente relacionados a uma outra classe de somas de raízes da unidade, agora geralmente chamadas de somas de Gauss (ou somas gaussianas). A quantidade
P −
P
∗
{\displaystyle P-P^{*}}
apresentada acima é uma soma de Gauss quadrática mod
p
{\displaystyle p}
, o exemplo não trivial mais simples de uma soma de Gauss. Observa-se que
P −
P
∗
{\displaystyle P-P^{*}}
também pode ser escrito como
∑ χ ( a )
ζ
a
{\displaystyle \sum \chi (a)\zeta ^{a}}
onde
χ ( a )
{\displaystyle \chi (a)}
aqui representa o símbolo de Legendre
( a
/
p )
{\displaystyle (a/p)}
, e a soma é feita sobre as classes de resíduos módulo
p
{\displaystyle p}
. Mais genericamente, dado um caráter de Dirichlet
χ
( mod
n )
{\displaystyle \chi {\pmod {n}}}
, a soma de Gauss mod
n
{\displaystyle n}
associada a
χ
{\displaystyle \chi }
é
G ( k , χ ) =
∑
m = 1
n
χ ( m ) exp
(
2 π i m k
n
)
.
{\displaystyle G(k,\chi )=\sum _{m=1}^{n}\chi (m)\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right).}
Para o caso especial em que
χ =
χ
1
{\displaystyle \chi =\chi _{1}}
é o caráter de Dirichlet principal, a soma de Gauss reduz-se à soma de Ramanujan:
G ( k ,
χ
1
) =
c
n
( k ) =
∑
m = 1 ; ( m , n ) = 1
n
exp
(
2 π i m k
n
)
=
∑
d
|
( n , k )
d μ
(
n d
)
{\displaystyle G(k,\chi _{1})=c_{n}(k)=\sum _{m=1;(m,n)=1}^{n}\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right)=\sum _{d|(n,k)}d\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}
onde
μ
{\displaystyle \mu }
é a função de Möbius. As somas de Gauss
G ( k , χ )
{\displaystyle G(k,\chi )}
são onipresentes na teoria dos números; por exemplo, elas ocorrem de forma significativa nas equações funcionais das funções L. (As somas de Gauss são, em certo sentido, os análogos de corpo finito da função gama.[carece de fontes]?)
Relação entre períodos de Gauss e somas de Gauss Os períodos de Gauss estão relacionados com as somas de Gauss
G ( 1 , χ )
{\displaystyle G(1,\chi )}
para as quais o caráter
χ
{\displaystyle \chi }
é trivial em
H
{\displaystyle H}
. Tais caráteres
χ
{\displaystyle \chi }
assumem o mesmo valor para todos os elementos
a
{\displaystyle a}
de uma classe lateral fixa de
H
{\displaystyle H}
em
G
{\displaystyle G}
. Por exemplo, o caráter quadrático mod
p
{\displaystyle p}
descrito acima assume o valor 1 em cada resíduo quadrático e o valor -1 em cada não-resíduo quadrático. A soma de Gauss
G ( 1 , χ )
{\displaystyle G(1,\chi )}
pode assim ser escrita como uma combinação linear de períodos de Gauss (com coeficientes
χ ( a )
{\displaystyle \chi (a)}
); o inverso também é verdadeiro, como consequência das relações de ortogonalidade para o grupo
(
Z
/
n
Z
)
×
{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}
. Noutras palavras, os períodos de Gauss e as somas de Gauss são transformadas de Fourier uns dos outros. Os períodos de Gauss geralmente residem em corpos menores, já que, por exemplo, quando
n
{\displaystyle n}
é um primo
p
{\displaystyle p}
, os valores
χ ( a )
{\displaystyle \chi (a)}
são raízes
( p − 1 )
{\displaystyle (p-1)}
-ésimas da unidade. Por outro lado, as somas de Gauss possuem propriedades algébricas mais agradáveis.
Referências
Bibliografia H. Davenport; H. L. Montgomery (2000). Multiplicative Number Theory. [S.l.]: Springer. p. 18. ISBN 0-387-95097-4
